三角形ABCにおいて、線分DEは辺BCと平行であり、点Gは三角形ABCの重心である。BCの長さが8であるとき、線分DEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分DEは辺BCと平行であり、点Gは三角形ABCの重心である。BCの長さが8であるとき、線分DEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

重心の性質より、重心Gは中線を2:1に内分する。

したがって、AD:DB = AE:EC であることと、DE//BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

三角形ABCの中線をAMとすると、AG:GM = 2:1である。AM上に点D,Eがあるため、AG:AM = AD:AB = AE:ACとなる。

$AG:GM = 2:1$ なので、

$AG:AM = 2:(2+1) = 2:3$

相似比は $AD:AB = AE:AC = AG:AM = 2:3$ である。

したがって、$DE:BC = 2:3$ となる。

$BC = 8$ なので、$DE = x$ とすると、

$x:8 = 2:3$

$3x = 16$

$x = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$