四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をG、辺OAの中点をMとする。直線OGと平面MBCの交点をPとするとき、OP:OGを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をG、辺OAの中点をMとする。直線OGと平面MBCの交点をPとするとき、OP:OGを求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$ とおく。

点Gは三角形ABCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

点Pは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OP} = k \vec{OG} = k \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

点Pは平面MBC上にあるので、実数$s, t$を用いて、

$\vec{OP} = \vec{OM} + s(\vec{OB} - \vec{OM}) + t(\vec{OC} - \vec{OM})$

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + s(\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) + t(\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a})$

$\vec{OP} = (\frac{1}{2} - \frac{s}{2} - \frac{t}{2})\vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c}$

$\vec{OP}$の2つの表現より、

$k \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = (\frac{1}{2} - \frac{s}{2} - \frac{t}{2})\vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較すると

$\frac{k}{3} = \frac{1}{2} - \frac{s}{2} - \frac{t}{2}$

$\frac{k}{3} = s$

$\frac{k}{3} = t$

$\frac{k}{3} = \frac{1}{2} - \frac{k}{6} - \frac{k}{6}$

$\frac{k}{3} = \frac{1}{2} - \frac{k}{3}$

$\frac{2k}{3} = \frac{1}{2}$

$k = \frac{3}{4}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{3}{4} \vec{OG}$

$OP:OG = \frac{3}{4} : 1 = 3:4$

3. 最終的な答え

3:4