2点 $A(1, 0)$、$B(6, 0)$ からの距離の比が $2:3$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。 (1) 点Pの軌跡を求める。 (2) 点Pの軌跡を作図する。 (3) 点Pの軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。アポロニウスの円について調べ、考察する。

1. 問題の内容

2点 $A(1, 0)$、$B(6, 0)$ からの距離の比が $2:3$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

(1) 点Pの軌跡を求める。

(2) 点Pの軌跡を作図する。

(3) 点Pの軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。アポロニウスの円について調べ、考察する。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。$AP:BP = 2:3$ なので、$3AP = 2BP$ が成り立ちます。

距離の公式より、$AP = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$、$BP = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$ です。

したがって、

$3\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$9((x-1)^2 + y^2) = 4((x-6)^2 + y^2)$

$9(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4(x^2 - 12x + 36 + y^2)$

$9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$

$5x^2 + 30x + 5y^2 = 135$

$x^2 + 6x + y^2 = 27$

$(x+3)^2 - 9 + y^2 = 27$

$(x+3)^2 + y^2 = 36$

(2) 点Pの軌跡は、中心 $(-3, 0)$、半径 $6$ の円です。実際にこの円を作図します。

(3) アポロニウスの円について。

アポロニウスの円は、異なる2点からの距離の比が一定である点の軌跡として定義される円です。

この問題の場合、$A$と$B$からの距離の比が$2:3$である点$P$の軌跡を考えましたが、一般に、$m:n$ (ただし、$m \neq n$) である場合も円になります。$m=n$の場合は線分ABの垂直二等分線となります。アポロニウスの円は、2定点からの距離の比が一定である点の軌跡であるという性質を持ちます。

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)^2 + y^2 = 36$

(2) 中心 $(-3, 0)$、半径 $6$ の円を作図

(3) アポロニウスの円は、2定点からの距離の比が一定である点の軌跡である。