四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを3:2に内分する点をPとする。ベクトルOPをベクトルOA、OB、OCを用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを3:2に内分する点をPとする。ベクトルOPをベクトルOA、OB、OCを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Dは辺ABを2:1に内分するので、$\vec{OD}$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて次のように表せる。

$\vec{OD} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2 + 1} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

次に、点Pは線分CDを3:2に内分するので、$\vec{OP}$ は $\vec{OC}$ と $\vec{OD}$ を用いて次のように表せる。

$\vec{OP} = \frac{2 \cdot \vec{OC} + 3 \cdot \vec{OD}}{3 + 2} = \frac{2}{5}\vec{OC} + \frac{3}{5}\vec{OD}$

ここで、$\vec{OD}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表した式を代入する。

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OC} + \frac{3}{5}(\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB})$

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OC} + \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

したがって、$\vec{OP}$ は $\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$ を用いて次のように表される。

$\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB} + \frac{2}{5}\vec{OC}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB} + \frac{2}{5}\vec{OC}$