四面体 $OABC$ において、$\triangle ABC$ の重心を $G$、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $OC$ を $2:3$ に内分する点を $E$ とする。直線 $OG$ と平面 $DBE$ の交点を $P$ とするとき、$OP:OG$ を求めよ。

1. 問題の内容

四面体 $OABC$ において、$\triangle ABC$ の重心を $G$、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $OC$ を $2:3$ に内分する点を $E$ とする。直線 $OG$ と平面 $DBE$ の交点を $P$ とするとき、$OP:OG$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OG}$ を $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ で表す。$G$ は $\triangle ABC$ の重心なので、

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$$

次に、点 $P$ が直線 $OG$ 上にあることから、実数 $k$ を用いて

$$\vec{OP} = k \vec{OG} = k \left( \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} \right) = \frac{k}{3} \vec{OA} + \frac{k}{3} \vec{OB} + \frac{k}{3} \vec{OC}$$

と表せる。

また、$D$ は辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点なので、$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{OA}$。

$E$ は辺 $OC$ を $2:3$ に内分する点なので、$\vec{OE} = \frac{2}{5}\vec{OC}$。

点 $P$ が平面 $DBE$ 上にあるので、実数 $s, t$ を用いて、

$$\vec{OP} = (1-s-t)\vec{OD} + s\vec{OB} + t\vec{OE} = (1-s-t)\frac{1}{3}\vec{OA} + s\vec{OB} + t\frac{2}{5}\vec{OC}$$

と表せる。

$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$\frac{k}{3} = \frac{1-s-t}{3}, \quad \frac{k}{3} = s, \quad \frac{k}{3} = \frac{2t}{5}$$

これらから、

$$k = 1-s-t, \quad k = 3s, \quad k = \frac{6t}{5}$$

2番目と3番目の式から、$s = \frac{k}{3}$、$t = \frac{5k}{6}$。これらを1番目の式に代入して、

$$k = 1 - \frac{k}{3} - \frac{5k}{6} = 1 - \frac{2k+5k}{6} = 1 - \frac{7k}{6}$$

よって、$k + \frac{7k}{6} = 1$ より、$\frac{13k}{6} = 1$ だから、$k = \frac{6}{13}$。

したがって、$OP:OG = k:1 = \frac{6}{13}:1 = 6:13$

3. 最終的な答え

$OP:OG = 6:13$