2つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ の2つの交点と点 $(1, -1)$ を通る円の中心と半径を求める。また、2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ の2つの交点と点 $(1, -1)$ を通る円の中心と半径を求める。また、2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの円の交点を通る円の方程式を考える。これは、$k(x^2 + y^2 - 4) + (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1) = 0$ と表せる。この円が点 $(1, -1)$ を通るので、この点を代入して $k$ の値を求める。

$k(1^2 + (-1)^2 - 4) + (1^2 + (-1)^2 - 4(1) - 2(-1) + 1) = 0$

$k(1 + 1 - 4) + (1 + 1 - 4 + 2 + 1) = 0$

$-2k + 1 = 0$

$k = \frac{1}{2}$

したがって、求める円の方程式は

$\frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 4) + (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1) = 0$

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 - 2 + x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$

$\frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{2}y^2 - 4x - 2y - 1 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 8x - 4y - 2 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{8}{3}x - \frac{4}{3}y - \frac{2}{3} = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y - \frac{2}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{26}{9}$

したがって、円の中心は $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ であり、半径は $\sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3}$ である。

次に、2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

$x^2 + y^2 - 4 = 0$

$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$

2つの式を引き算すると、

$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1) = 0$

$4x + 2y - 5 = 0$

3. 最終的な答え

中心の座標: $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

半径: $\frac{\sqrt{26}}{3}$

直線の方程式: $4x + 2y - 5 = 0$