$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{4}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき $\sin \theta \ge 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用して $\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}$

$\tan \theta = \frac{2}{3} \times \frac{3}{-\sqrt{5}}$

$\tan \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2}{3}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$