点A(5,5)から出発した点Pが、直線 $l: y=3x$ 上の点Qで反射し、その後x軸で反射して再び点Aに戻るような点Qの座標を求める問題です。ただし、入射角と反射角は等しいとします。点Aの直線 $l$ に関する対称点をB、x軸に関する対称点をCとすると、3点B, Q, Cが一直線上にあるとき、点Aを出発した点Pは再びAに戻ってくる。直線BCの方程式を求め、その直線と直線 $l$ の交点として点Qの座標を求めます。

1. 問題の内容

点A(5,5)から出発した点Pが、直線 $l: y=3x$ 上の点Qで反射し、その後x軸で反射して再び点Aに戻るような点Qの座標を求める問題です。ただし、入射角と反射角は等しいとします。点Aの直線 $l$ に関する対称点をB、x軸に関する対称点をCとすると、3点B, Q, Cが一直線上にあるとき、点Aを出発した点Pは再びAに戻ってくる。直線BCの方程式を求め、その直線と直線 $l$ の交点として点Qの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点A(5, 5)のx軸に関する対称点Cの座標を求める。x軸対称なので、x座標は変わらず、y座標は符号が変わります。したがって、C(5, -5)となります。

(2) 点A(5, 5)の直線 $l: y=3x$ に関する対称点Bの座標を求める。

点Aと点Bの中点をMとすると、点Mは直線 $l$ 上にあります。また、直線ABは直線 $l$ と垂直です。

点Bの座標を(p, q)とすると、点Mの座標は(($5+p$)/2, ($5+q$)/2)となります。

点Mが直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{5+q}{2} = 3 \cdot \frac{5+p}{2}$

$5 + q = 15 + 3p$

$q = 3p + 10$ ...(1)

直線ABの傾きは (q-5)/(p-5) であり、直線 $l$ の傾きは3なので、

$\frac{q-5}{p-5} = -\frac{1}{3}$

$3(q-5) = - (p-5)$

$3q - 15 = -p + 5$

$3q = -p + 20$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$3(3p+10) = -p + 20$

$9p + 30 = -p + 20$

$10p = -10$

$p = -1$

(1)に代入すると、

$q = 3(-1) + 10 = 7$

したがって、B(-1, 7)となります。

(3) 2点B(-1, 7), C(5, -5)を通る直線BCの方程式を求める。

傾きは $\frac{-5-7}{5-(-1)} = \frac{-12}{6} = -2$

y切片をbとすると、y = -2x + b

点C(5, -5)を通るので、-5 = -2(5) + b

-5 = -10 + b

b = 5

したがって、直線BCの方程式は y = -2x + 5

(4) 直線 $l: y=3x$ と直線BC: y = -2x + 5 の交点Qの座標を求める。

$3x = -2x + 5$

$5x = 5$

$x = 1$

$y = 3(1) = 3$

したがって、Q(1, 3)となります。

3. 最終的な答え

B(-1, 7), C(5, -5), y = -2x + 5, Q(1, 3)

アイ：-1, ウ：7, エ：5, オカ：-5, キク：-2, ケ：5, コ：1, サ：3