問題は、三角比、三角形の辺の長さ、面積比、円の性質に関する4つの小問から構成されています。

1. 問題の内容

問題は、三角比、三角形の辺の長さ、面積比、円の性質に関する4つの小問から構成されています。

2. 解き方の手順

(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用します。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin \theta \ge 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\triangle ABC$ において、$AB = 2\sqrt{5}$, $AC = 3$, $B = 30^\circ$, $C$は鋭角のとき、$\sin C$, $\cos C$, $BC$ の値を求めます。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$ なので、

$\sin C = \frac{AB \sin B}{AC} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sin 30^\circ}{3} = \frac{2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ （$C$は鋭角なので、$\cos C > 0$）

余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \cdot BC \cdot \cos C$

$(2\sqrt{5})^2 = 3^2 + BC^2 - 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{2}{3}$

$20 = 9 + BC^2 - 4 BC$

$BC^2 - 4 BC - 11 = 0$

$BC = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 44}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 2 \pm \sqrt{15}$

$BC > 0$ なので、$BC = 2 + \sqrt{15}$

(3) $\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$, 辺 $CA$ を $4:3$ に内分する点を $Q$ とします。線分 $BQ$ と線分 $CP$ の交点を $R$ とし、直線 $AR$ と辺 $BC$ の交点を $S$ とするとき、$BS:SC$ と $\triangle APR : \triangle ABC$ の値を求めます。

チェバの定理より、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BS}{SC} = \frac{8}{3}$

したがって、$BS:SC = 8:3$

面積比に関しては、メネラウスの定理を使うと、$\frac{CB}{BS}\frac{SR}{RA}\frac{AP}{PC}=1$ が成り立つ。

よって、$\frac{11}{8}\frac{SR}{RA}\frac{1}{2}=1$から$\frac{SR}{RA}=\frac{16}{11}$なので、$\frac{AR}{AS}=\frac{11}{27}$となる。

$\triangle ABR = \frac{8}{11}\triangle ABC$ より$\triangle ABC = \frac{11}{8}\triangle ABR$

$\triangle APR=\frac{1}{3}\triangle ABR$ より、 $\triangle ABC = \frac{11}{8}*3\triangle APR = \frac{33}{8} \triangle APR$

$\frac{\triangle APR}{\triangle ABC}= \frac{8}{33}$

(4) 円の性質の問題は情報が不完全なため解けません。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$, $\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\sin C = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos C = \frac{2}{3}$, $BC = 2 + \sqrt{15}$

(3) $BS:SC = 8:3$, $\triangle APR : \triangle ABC=8 : 33$

(4) 解けません