2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つような、$r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r > 0$ とする。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つような、$r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、2つ目の円の方程式を変形し、中心と半径を求める。

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 4 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

よって、2つ目の円の中心は $(3, -2)$ であり、半径は $3$ である。

2つの円が異なる2つの共有点を持つための条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、差の絶対値よりも大きいことである。

1つ目の円の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $r$ である。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

2つの円が異なる2つの共有点を持つための条件は、

$|r - 3| < \sqrt{13} < r + 3$

$|r - 3| < \sqrt{13}$ より、

$-\sqrt{13} < r - 3 < \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$

$\sqrt{13} < r + 3$ より、

$r > \sqrt{13} - 3$

これは常に満たされている ($r > 0$ より)

したがって、$3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$ かつ $r > 0$ である。

$3 - \sqrt{13} < 0$ であるので、$0 < r < 3 + \sqrt{13}$。

3. 最終的な答え

$0 < r < 3 + \sqrt{13}$