与えられた三角関数の式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を、$r \sin (\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とする。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を、$r \sin (\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を利用する。

$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$ において、

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \alpha = \frac{a}{r}$

$\sin \alpha = \frac{b}{r}$

である。

与えられた式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ において、$a = 1$, $b = -\sqrt{3}$ となる。

まず、$r$ を求める。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ を求める。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

この条件を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{3} \right)$

3. 最終的な答え

$2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{3} \right)$