(4) 円錐の展開図と表面積を求める問題と、正四角錐の線分の長さと体積を求める問題です。 (1) 円錐の展開図として正しいものを選択肢から選びます。 (2) 円錐の表面積を求めます。 (3) 正四角錐のAEの長さを求めます。 (4) 正四角錐の体積を求めます。

1. 問題の内容

(4) 円錐の展開図と表面積を求める問題と、正四角錐の線分の長さと体積を求める問題です。

(1) 円錐の展開図として正しいものを選択肢から選びます。

(2) 円錐の表面積を求めます。

(3) 正四角錐のAEの長さを求めます。

(4) 正四角錐の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図

円錐の展開図は、側面がおうぎ形、底面が円になります。おうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しいです。円錐の半径は10cm、底面の半径は6cmなので、円周の長さは $2 \pi \cdot 6 = 12 \pi$ です。よって、円錐の展開図は、おうぎ形の弧の長さが $12 \pi$ であるものを選ぶ必要があります。選択肢の中で、おうぎ形の弧の長さが底面の円周の長さに等しく、底面が円であるものは③です。

(2) 円錐の表面積

円錐の表面積は、側面積と底面積の和で求められます。

底面積は、$\pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi$ です。

側面積は、$\pi r l$ で計算できます。ここで、$r$ は底面の半径、$l$ は母線の長さです。よって側面積は、$\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60 \pi$ となります。

したがって、円錐の表面積は、 $36 \pi + 60 \pi = 96 \pi$ です。

(3) 正四角錐のAEの長さ

正四角錐の底面は正方形なので、対角線の長さは、$6\sqrt{2}$ です。AEは対角線の半分なので、$AE = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ となります。

(4) 正四角錐の体積

正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \cdot (\text{底面積}) \cdot (\text{高さ})$で求められます。

底面積は、$6^2 = 36$です。

高さOEを求めるためには、直角三角形OAEに着目します。$OA = 9$ で、$AE = 3\sqrt{2}$ なので、三平方の定理より、

$OE^2 + AE^2 = OA^2$

$OE^2 + (3\sqrt{2})^2 = 9^2$

$OE^2 + 18 = 81$

$OE^2 = 63$

$OE = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

よって、体積は、$\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 96

(3) 3√2

(4) 36√7