三角形ABCにおいて、AB=6, AC=8とする。 (1) 角BAC=90°の場合について、BCの長さ、外心OからAまでの距離AO、辺ACの中点MからBまでの距離BM、重心GからBまでの距離BG、内接円の半径、内心IからCまでの距離CIを求める。 (2) BC=4の場合について、辺AC上にAD=3となるように点Dを取り、三角形BCDの外接円と辺ABの交点Eについて、AEの長さ、DEの長さ、線分BDと線分CEの交点をFとするとき、EF/FCの値、三角形DEFの面積が三角形ABCの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=6, AC=8とする。

(1) 角BAC=90°の場合について、BCの長さ、外心OからAまでの距離AO、辺ACの中点MからBまでの距離BM、重心GからBまでの距離BG、内接円の半径、内心IからCまでの距離CIを求める。

(2) BC=4の場合について、辺AC上にAD=3となるように点Dを取り、三角形BCDの外接円と辺ABの交点Eについて、AEの長さ、DEの長さ、線分BDと線分CEの交点をFとするとき、EF/FCの値、三角形DEFの面積が三角形ABCの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* ∠BAC=90°の直角三角形なので、三平方の定理より、$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

* 直角三角形の外心は斜辺の中点なので、$AO = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$

* $AM = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$。三平方の定理より、$BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

* 重心は中線を2:1に内分するので、$BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{13} = \frac{4\sqrt{13}}{3}$

* 直角三角形の内接円の半径は、$r = \frac{AB+AC-BC}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

* 内心IからCまでの距離は、$CI = \sqrt{r^2 + (AC-r)^2} = \sqrt{2^2 + (8-2)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

(2)

* 方べきの定理より、$AE \cdot AB = AD \cdot AC$。$AE \cdot 6 = 3 \cdot 8$。$AE = \frac{24}{6} = 4$

* $\triangle ADE$と$\triangle ACB$は相似である. $AD=3, AC=8$より相似比は$\frac{3}{8}$.よって$\frac{DE}{CB} = \frac{3}{8}$. $BC=4$なので、$DE = \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3}{2}$

* メネラウスの定理を$\triangle ABC$と直線$BFE$に適用すると、$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$.よって$\frac{4}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$. $\frac{CF}{FA} = \frac{5}{6}$

* チェバの定理を$\triangle ABC$と点$F$に適用すると、$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BA}{AE} = 1$.よって$\frac{3}{5} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{6}{4} = 1$. $\frac{CE}{EB} = \frac{10}{9}$

* メネラウスの定理を$\triangle ACE$と直線$BFD$に適用すると、$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{EB}{BA} = 1$.よって$\frac{3}{5} \cdot \frac{CF}{FE} \cdot \frac{2}{6} = 1$. $\frac{CF}{FE} = 5$よって$\frac{EF}{FC} = \frac{1}{5}$

* $\triangle DEF$の面積は、$\triangle ABC$の面積の$\frac{AD}{AC} \cdot \frac{AE}{AB} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{6} = \frac{1}{4}$倍

3. 最終的な答え

(1)

BC = 10

AO = 5

BM = $2\sqrt{13}$

BG = $\frac{4\sqrt{13}}{3}$

内接円の半径 = 2

CI = $2\sqrt{10}$

(2)

AE = 4

DE = $\frac{3}{2}$

EF/FC = $\frac{1}{5}$

$\triangle DEF$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{1}{4}$倍