図において、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるときの、角 $x$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

図において、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるときの、角 $x$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるとき、円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC$となります。

$\angle BDC$ は $80^{\circ}$ から $x$ を引いた角度なので、$\angle BDC = 80^{\circ} - x$ と表せます。

三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 40^{\circ}$ なので、三角形の内角の和は $180^{\circ}$ であることから、以下の式が成り立ちます。

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$

$\angle ACB$ は、角 $x$ と $\angle BDC$ の和として表せるので、$\angle ACB = x + \angle BDC$ となります。

したがって、$\angle ACB = x + (80^{\circ} - x) = 80^{\circ}$ となります。

これを先ほどの式に代入すると、

$\angle BAC + 40^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BAC + 120^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BAC = 60^{\circ}$

$\angle BAC = \angle BDC$ より、$60^{\circ} = 80^{\circ} - x$ となります。

$x = 80^{\circ} - 60^{\circ}$

$x = 20^{\circ}$

3. 最終的な答え

$20^{\circ}$