一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E, Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G, Hがあり、DG=GH=HCである。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。 (1) EHの長さを求めよ。 (2) PQの長さを求めよ。 (3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E, Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G, Hがあり、DG=GH=HCである。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。

(1) EHの長さを求めよ。

(2) PQの長さを求めよ。

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

EHは正方形ABCDの辺を斜辺とする直角三角形ECHの斜辺である。ECの長さは12cmであり、CHの長さはDC/3 = 12cm/3 = 4cmである。三平方の定理より、

$EH^2 = EC^2 + CH^2$

$EH^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$

$EH = \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4\sqrt{10}$ cm

(2) PQの長さを求める。

点E, F, BはABを三等分するので、AE = EF = FB = 12/3 = 4cm

点D, G, H, CはDCを三等分するので、DG = GH = HC = 12/3 = 4cm

△EFQと△CBQは相似であり、相似比はEF:BC = 4:12 = 1:3である。

したがって、EQ:CQ = 1:3、EQ:EC = 1:4、EQ = (1/4)EC。

ECの長さは12cmなので、

$EQ = \frac{1}{4} \times EC = \frac{1}{4} \times 12 = 3$

$CQ = \frac{3}{4} \times EC = \frac{3}{4} \times 12 = 9$

また、△AEPと△CGPも相似であり、AE = 4cm、CG = 8cmなので、相似比はAE:CG = 4:8 = 1:2である。

EP:GP = 1:2なので、EP:EG = 1:3、EP = (1/3)EG。

EGは正方形ABCDの辺を斜辺とする直角三角形EDGの斜辺である。EDの長さは12cmであり、DGの長さは4cmである。

$EG^2 = ED^2 + DG^2$

$EG^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$

$EG = \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4\sqrt{10}$

よって、$EP = \frac{1}{3} EG = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

また、$EH = 4\sqrt{10}$であるから、

$PQ = EH - EP - HQ = 4\sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{3} - 3$

$EH = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$

EQ=3

$\frac{EP}{EH} = \frac{AE}{AE+CG} = \frac{4}{4+8} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$EP = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{10} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$HQ = \frac{HC}{BC} \times EH \frac{4}{12} EC = \frac{1}{3} \times EC = \frac{3}{1}$

$PQ = EH - EP - EQ = 4\sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{3} - 3 = \frac{8\sqrt{10}}{3} -3$

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

四角形PFBQは台形である。台形の面積は（上底+下底）×高さ÷2で求められる。上底PFと下底BQ、そして高さFBを求める。

$PF = \frac{DG}{DC} \times EH = \frac{4}{12} EH= \frac{1}{3} (4\sqrt{10}) = \frac{4}{3} \sqrt{10}$

$BQ = \frac{GH + HC}{DC} EH= \frac{8}{12} EH= \frac{2}{3} (4\sqrt{10}) = \frac{8}{3} \sqrt{10}$

FB= 4cm

$(\frac{4}{3}\sqrt{10} + 3 \times \frac{4}{3}\sqrt{10}) \times 4 \div 2 = (2\sqrt{10}) \times 2 =4\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) EHの長さ: $4\sqrt{10}$ cm

(2) PQの長さ: $\frac{8\sqrt{10}}{3} - 3$ cm

(3) 四角形PFBQの面積: $4\sqrt{10}$ cm$^2$