一辺の長さが8cmの正三角形ABCがあり、辺BCの中点をD、BE=6cmとなる点をEとする。 (i) 線分ADの長さを求めよ。 (ii) 線分AEの長さを求めよ。 (iii) 点Bから線分AEに垂線をひき、交点をHとするとき、線分BHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが8cmの正三角形ABCがあり、辺BCの中点をD、BE=6cmとなる点をEとする。

(i) 線分ADの長さを求めよ。

(ii) 線分AEの長さを求めよ。

(iii) 点Bから線分AEに垂線をひき、交点をHとするとき、線分BHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 線分ADの長さ

三角形ABDは直角三角形である。

AB=8cm, BD=4cmであるから、三平方の定理より、

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 4^2 = 8^2$

$AD^2 = 64 - 16 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ cm

(ii) 線分AEの長さ

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos{60^\circ}$

$AE^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$AE^2 = 64 + 36 - 48 = 52$

$AE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ cm

(iii) 線分BHの長さ

三角形ABEの面積Sを2通りで表す。

1つ目は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

2つ目は、$\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot BH = \sqrt{13} BH$

よって、$12\sqrt{3} = \sqrt{13} BH$

$BH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm

3. 最終的な答え

(i) $4\sqrt{3}$ cm

(ii) $2\sqrt{13}$ cm

(iii) $\frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm