$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立つ。 (1) 点 $P$ は $\triangle ABC$ に対してどのような位置にあるか。 (2) 面積の比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立つ。

(1) 点 $P$ は $\triangle ABC$ に対してどのような位置にあるか。

(2) 面積の比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ を変形して、$\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表すことを目指す。

$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ より、

$- \vec{AP} + 2(\vec{AB} - \vec{AP}) + 3(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

$- \vec{AP} + 2\vec{AB} - 2\vec{AP} + 3\vec{AC} - 3\vec{AP} = \vec{0}$

$6\vec{AP} = 2\vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{6} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{2+3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{5}$

点 $E$ を $5\vec{AE} = 2\vec{AB} + 3\vec{AC}$ を満たす点とすると、点 $E$ は線分 $BC$ を $3:2$ に内分する点である。

したがって、$\vec{AP} = \frac{5}{6}\vec{AE}$となり、$P$ は線分 $AE$ を $5:1$ に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

$\vec{AP} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AC}}{6}$ より、$6\vec{AP} = 2\vec{AB} + 3\vec{AC}$.

また、$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}$, $\vec{AP} = \vec{AC} + \vec{CP}$ より、

$\vec{AB} = \vec{AP} - \vec{BP}$, $\vec{AC} = \vec{AP} - \vec{CP}$

$6\vec{AP} = 2(\vec{AP} - \vec{BP}) + 3(\vec{AP} - \vec{CP}) = 2\vec{AP} - 2\vec{BP} + 3\vec{AP} - 3\vec{CP}$

$6\vec{AP} = 5\vec{AP} - 2\vec{BP} - 3\vec{CP}$

$\vec{AP} = -2\vec{BP} - 3\vec{CP}$

$\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$

$1\vec{AP} + 2\vec{BP} + 3\vec{CP} = 6 \vec{OP}$ となる点 $O$ が存在する。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 1 : 2 : 3$

3. 最終的な答え

(1) 点 $P$ は線分 $BC$ を $3:2$ に内分する点を $E$ とするとき、線分 $AE$ を $5:1$ に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 1 : 2 : 3$