$\triangle ABC$と点$P$に対して、$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立つ。 (1) 点$P$は$\triangle ABC$に対してどのような位置にあるか。 (2) 面積の比$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$と点$P$に対して、$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立つ。

(1) 点$P$は$\triangle ABC$に対してどのような位置にあるか。

(2) 面積の比$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を変形する。

始点を$A$にすると、

$\overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$だから、

$-\overrightarrow{AP} + 2(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$4\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{5}$

点$D$を$\overrightarrow{AD} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{5}$となる点とすると、

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AD}$

これは、点$D$が線分$BC$を3:2に内分する点であり、点$P$は線分$AD$を5:4に外分する点であることを示している。したがって、点$P$は$\triangle ABC$の内部ではなく、外部にある。

(2) 面積比を求める。

$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$より、

$-\overrightarrow{AP} + 2(-\overrightarrow{BP}) + 3(-\overrightarrow{CP}) = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{BP} - 3\overrightarrow{CP}$

ここで、任意の点$O$を基準として考えると、

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) + 3(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP}) = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = 6\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{6}$

この式を変形すると、

$6\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) + 3(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP}) = 0$

$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$

両辺の絶対値を考えると、点$P$は三角形$ABC$の内部にあることがわかる。

また、$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = 1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$となるから

$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = 3 : 1.5 : 1$

$\overrightarrow{PA} = -(2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC})$ より、

$\overrightarrow{PA} = -2\overrightarrow{PB} - 3\overrightarrow{PC}$

$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP}$

ここで、点$P$から直線$BC$に下ろした垂線の長さを$h_A$、点$P$から直線$CA$に下ろした垂線の長さを$h_B$、点$P$から直線$AB$に下ろした垂線の長さを$h_C$とすると、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = |\overrightarrow{PA}|: |\overrightarrow{PB}|: |\overrightarrow{PC}|$

面積の比は、2:3:1ではない。

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{6}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

面積比は$|\overrightarrow{AP}|^2 = 2|\overrightarrow{BP}|^2 + 3|\overrightarrow{CP}|^2$となるはずである。

$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = 2:1:1/3$

$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = 3:1:2$

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 2 : 1 : 3$

3. 最終的な答え

(1) 点$P$は線分$BC$を3:2に内分する点を$D$とすると、線分$AD$を5:4に外分する点。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 3:1:2$