平行四辺形 $ABCD$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点を $E$、辺 $CD$ を $2:5$ に外分する点を $F$ とするとき、3点 $A, E, F$ が一直線上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

平行四辺形 $ABCD$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点を $E$、辺 $CD$ を $2:5$ に外分する点を $F$ とするとき、3点 $A, E, F$ が一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおくと、

$\overrightarrow{AE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{d}$ で表すと、

$E$ は辺 $BC$ を $3:2$ に内分するので、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

$F$ は辺 $CD$ を $2:5$ に外分するので、

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{2-5} \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b}$

$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ が平行であることを示すために、$\overrightarrow{AF} = k \overrightarrow{AE}$ となる実数 $k$ が存在することを示す。

$\vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b} = k(\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d})$

$\vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b} = k\vec{b} + \frac{3}{5}k \vec{d}$

$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立なので、係数を比較して

$-\frac{2}{3} = k$

$1 = \frac{3}{5}k$

$k = -\frac{2}{3}$と$k = \frac{5}{3}$が得られるので、これは誤りです。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{-3} \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b}$

3点 $A, E, F$ が一直線上にあるためには、$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$となる実数$k$が存在すれば良い。

つまり、$\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d} = k (\vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b})$となる実数$k$が存在すれば良い。

$\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d} = -\frac{2}{3} k \vec{b} + k \vec{d}$

$\vec{b}$ の係数を比較して $1 = -\frac{2}{3}k$ より $k = -\frac{3}{2}$.

$\vec{d}$ の係数を比較して $\frac{3}{5} = k$ より $k = \frac{3}{5}$.

これは矛盾しているので、$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$ とはならない。

改めて $\overrightarrow{EF} = k\overrightarrow{EA}$となる実数 $k$ が存在すれば良い。

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = (\vec{d} - \frac{2}{3}\vec{b}) - (\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}) = -\frac{5}{3}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}$

$\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE} = -\vec{b} - \frac{3}{5} \vec{d}$

$-\frac{5}{3}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d} = k(-\vec{b} - \frac{3}{5} \vec{d}) = -k \vec{b} - \frac{3}{5}k \vec{d}$

$-\frac{5}{3} = -k$ より $k = \frac{5}{3}$

$\frac{2}{5} = -\frac{3}{5}k$ より $k = -\frac{2}{3}$

矛盾しているので一直線上に存在しない。

$\overrightarrow{AE}$と$\overrightarrow{EF}$が平行になることを示せば良い。

つまり$\overrightarrow{EF} = k \overrightarrow{AE}$ となる $k$ が存在すれば良い。

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = (\vec{d} - \frac{2}{3} \vec{b}) - (\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}) = -\frac{5}{3} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{d}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

$-\frac{5}{3} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{d} = k(\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d})$

$-\frac{5}{3} = k$ かつ $\frac{2}{5} = \frac{3}{5} k$

$k = -\frac{5}{3}$ かつ $k = \frac{2}{3}$

矛盾しているので、一直線上にない。

ベクトル $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$とすると、

点Eは辺BCを3:2に内分するので、$\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{d}$。

点Fは辺CDを2:5に外分するので、$\overrightarrow{AF}=\vec{d}-\frac{2}{3}\vec{b}$。

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\vec{d}-\frac{2}{3}\vec{b}-(\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{d})=\frac{2}{5}\vec{d}-\frac{5}{3}\vec{b}$。

3点A、E、Fが一直線上にあるためには、実数kを用いて$\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{AE}$と表せる必要がある。

すなわち、$\frac{2}{5}\vec{d}-\frac{5}{3}\vec{b}=k(\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{d})$。

整理して、$\frac{2}{5}\vec{d}-\frac{5}{3}\vec{b}=k\vec{b}+\frac{3}{5}k\vec{d}$。

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、$\frac{2}{5}=\frac{3}{5}k$かつ$-\frac{5}{3}=k$。

よって、$k=\frac{2}{3}$かつ$k=-\frac{5}{3}$。

これは矛盾するので、3点A、E、Fは一直線上にない。

3. 最終的な答え

3点 A, E, F は一直線上にない。