与えられた条件を満たす2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。 (1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ (2) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ (ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$)

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

(1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$

(2) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ (ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$)

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題文より、$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ なので、

$7 = 2^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3^2 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9 = 13 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

したがって、$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 13 - 7 = 6$ より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ なので、$3 = 2 \cdot 3 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2)

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ より、$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ なので、

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} = 0$

$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ より、$|\vec{a}| \neq 0$, $|\vec{b}| \neq 0$ なので、$\cos{\theta} = 0$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}$