$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ のとき、$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} + t\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求める。

## 問題7

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ のとき、$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} + t\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} + t\vec{b}$ が垂直であるとき、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = 0$ が成り立つ。

この式を展開すると、

$\vec{a} \cdot \vec{a} + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + t(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

$|\vec{a}|^2 + (t+1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 = 0$

ここで、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$ を代入すると、

$2^2 + (t+1)(-3) + t(2^2) = 0$

$4 -3t -3 + 4t = 0$

$t + 1 = 0$

$t = -1$

3. 最終的な答え

$t = -1$

## 問題8

1. 問題の内容

3点 A(2, -1), B(3, 1), C(-1, 2) を頂点とする三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求めるために、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算する。

$\vec{AB} = (3-2, 1-(-1)) = (1, 2)$

$\vec{AC} = (-1-2, 2-(-1)) = (-3, 3)$

三角形の面積Sは、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積の絶対値の半分で与えられる。

S = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

ここでは2次元ベクトルなので、外積の絶対値は

$| (1)(3) - (2)(-3)| = |3 + 6| = |9| = 9$

したがって、面積Sは

$S = \frac{1}{2} |9| = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

S = $\frac{9}{2}$