長方形ABCDがあり、AB=5cm, BC=9cmである。BE=3cmとなる点EをAB上にとり、頂点CがEに重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。また、EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求める。 (2) AG:GQ:QDの比を求める。 (3) 四角形EPQGの面積を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=5cm, BC=9cmである。BE=3cmとなる点EをAB上にとり、頂点CがEに重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。また、EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求める。

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

PC = PEであり、BC = 9cmなので、BP = xとすると、PC = PE = 9 - xとなる。

直角三角形EBPにおいて、三平方の定理より、

$BE^2 + BP^2 = PE^2$

$3^2 + x^2 = (9-x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

したがって、BP = 4cm。

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

まず、FD=AD=9, AF=AB=5

三角形AFQと三角形CDQにおいて、

∠FAQ=∠DCQ=90°

∠AQF=∠DQC（対頂角）

より、三角形AFQ相似三角形CDQ

よって、AQ：CQ＝AF：CD＝5：5=1：1

AQ＝CQ

つまり、QはACの中点。

ここで,AG:GQ:QDの比を求める。

点GはEFとAQの交点である。点RをAD上に、PRがADと垂直になるように取る。

BR=AP=9-4=5より、AQ//EF

したがって、三角形AGFと三角形QGEは相似である。

よって、AG：GQ= AF:QD

また、点QはACの中点であるから、

AQ：QC = 1:1

さらに, $QD = \sqrt{CQ^2 - CD^2} = \sqrt{4.5^2 - 5^2}$

なので計算できない。

折った図形の性質より、PQは線分CEの垂直二等分線である。また、EFは線分CDの垂直二等分線である。

三角形AEGと三角形QGCについて

∠GAE = ∠GQC

∠AEG = ∠QCG

よって三角形AEGと三角形QGCは相似

したがって AG:GQ = AE:QC = 2:(9√2/2)

= 4/9√2

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

四角形EPQG = 三角形AEQ - 三角形AEG

3. 最終的な答え

(1) BP = 4 cm

(2) AG:GQ:QD = 計算中

(3) 四角形EPQGの面積 = 計算中