半径 $a$ の円 $C$ の周上に相異なる3点 $A, B, P$ があり、弦 $AB$ の長さが $\sqrt{3}a$ である。ただし、$a > 0$ とする。 (1) 点 $P$ が直線 $AB$ に関して点 $O$ と同じ側にあるとき、$\angle APB$ を求めよ。 (2) 点 $P$ が円 $C$ の周上を動くとき、$\triangle PAB$ の面積が最大となる時の $PA$ の値と、その時の面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円 $C$ の周上に相異なる3点 $A, B, P$ があり、弦 $AB$ の長さが $\sqrt{3}a$ である。ただし、$a > 0$ とする。

(1) 点 $P$ が直線 $AB$ に関して点 $O$ と同じ側にあるとき、$\angle APB$ を求めよ。

(2) 点 $P$ が円 $C$ の周上を動くとき、$\triangle PAB$ の面積が最大となる時の $PA$ の値と、その時の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心角 $\angle AOB$ を求める。弦 $AB$ の長さが $\sqrt{3}a$ で、半径が $a$ であるから、$\triangle OAB$ は二等辺三角形であり、$AB = \sqrt{3}a$ である。$\angle AOB = \theta$ とすると、余弦定理より、

$$(\sqrt{3}a)^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \theta$$

$$3a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos \theta$$

$$1 = -2 \cos \theta$$

$$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ である。

点 $P$ が直線 $AB$ に関して点 $O$ と同じ側にあるとき、$\angle APB$ は中心角の半分であるから、$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} (120^\circ) = 60^\circ$ である。

(2) $\triangle PAB$ の面積が最大となるのは、点 $P$ が弦 $AB$ から最も遠い位置にあるときである。つまり、点 $P$ が弦 $AB$ の垂直二等分線上にあり、円の中心 $O$ と反対側にあるときである。このとき、$PA = PB$ となる。また、弦 $AB$ の長さは $\sqrt{3}a$ であり、$\angle AOB = 120^{\circ}$ であるから、$\angle AOB$ の円周角は $60^{\circ}$ である。点Pが円弧AB上で、Oと反対側にあるとき、$\angle APB = \frac{1}{2}(360^{\circ}-120^{\circ}) = 120^{\circ}$。

$PA = x$ とすると、余弦定理より、

$$(\sqrt{3}a)^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos 120^\circ$$

$$3a^2 = 2x^2 - 2x^2 (-\frac{1}{2})$$

$$3a^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2$$

$$x^2 = a^2$$

よって、$x = a$ であるから、$PA = a$ である。

$\triangle PAB$ の面積は $\frac{1}{2}PA \cdot PB \cdot \sin \angle APB = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。

点 $P$ が弦 $AB$ の垂直二等分線上にあるとき、弦 $AB$ と点 $P$ との距離を $h$ とすると、$S = \frac{1}{2} AB \cdot h$ となる。$PA = PB = a$ のとき、点 $P$ は円の中心 $O$ から最も遠い位置にあるので、$h = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$. よって、$S = \frac{1}{2} \sqrt{3}a \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\angle APB = 60^\circ$

(2) $PA = a$ のとき、最大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ をとる。

```

1 6

3 1

3

4 3

5 3

6 4

```

よって答えは

1:6

2:0

3:1

4:3

5:3

6:4

7:a^2