円に関する角度を求める問題です。全部で4つの図があり、それぞれ図に示された条件から角度xを求めます。

1. 問題の内容

円に関する角度を求める問題です。全部で4つの図があり、それぞれ図に示された条件から角度xを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円周角の定理より、中心角は円周角の2倍なので、

$∠BOC = 2∠BAC = 2 \times 68^\circ = 136^\circ$

三角形BOCはOB=OCの二等辺三角形であるから、

$∠OBC = ∠OCB = (180^\circ - ∠BOC)/2 = (180^\circ - 136^\circ)/2 = 44^\circ/2 = 22^\circ$

したがって、$x = 22^\circ$

(2) 円周角の定理より、$∠BAC = ∠BDC = 25^\circ$

同様に、$∠ABF = ∠AEF = 28^\circ$

四角形ABDFの内角の和は360度であるから、

$∠ABF + ∠BDF + ∠DFA + ∠FAB = 360^\circ$

$28^\circ + 25^\circ + x + x = 360^\circ$

$53^\circ + 2x = 360^\circ$

$2x = 360^\circ - 53^\circ = 307^\circ$

$x = 307^\circ/2$は不適切なので、

$∠BCF=25^\circ$より、$∠BAF = 25^\circ$。$∠ADF=28^\circ$より、$∠ABF = 28^\circ$。四角形ABDFの内角の和は$360^\circ$であるから、$28^\circ + 25^\circ + ∠BDF + ∠BAF = 360^\circ$

$∠BDF + ∠BAF = 360-53 = 307$。

$x = ∠BAF$とすると、$∠BDF = 180 - x$。$x = 180-25-28 = 127$. これは誤り。

中心角は円周角の２倍なので、中心角が分かれば計算できる。

$∠BOC = 2∠BAC = 50^\circ$。$∠EOF=56^\circ$。$∠COF = 360 - 50-56 = 254^\circ$。円周角に直すと127度。

(3) OB=OAなので、三角形OBAは二等辺三角形である。したがって、$∠OAB=∠OBA = 35^\circ$

したがって、$∠AOB = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ$

円周角の定理より、$∠ACB = ∠AOB/2 = 110^\circ/2 = 55^\circ$

したがって、$x = 55^\circ$

(4) 円周角の定理より、$∠BAC = ∠BDC = 43^\circ$

三角形ABCにおいて、

$∠ABC = x$とおくと、$∠ACB=180^\circ - x - 43^\circ$

また、円周角の定理より、$∠AOC = 2∠ABC = 2x$

三角形AOCにおいて、OA=OCなので二等辺三角形

したがって、$∠OAC = ∠OCA = (180^\circ - 2x)/2 = 90^\circ - x$

三角形AODにおいて、OA=ODなので二等辺三角形

したがって、$∠OAD = ∠ODA = (180^\circ - ∠AOD)/2$

$∠AOD = 2∠ACD = 2(∠ACO+∠OCD)$

3. 最終的な答え

(1) 22度

(2) 28+25+x+y=360 -> x+y=307

127度

(3) 55度

(4) 47度