次の2直線のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。 (2) $y = -x$, $y = (2 + \sqrt{3})x$

1. 問題の内容

次の2直線のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

(2) $y = -x$, $y = (2 + \sqrt{3})x$

2. 解き方の手順

2直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、

$m_1 = -1$, $m_2 = 2 + \sqrt{3}$ である。

2直線のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ は

$$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$$

で与えられる。

この問題では、

$$\tan \theta = \left| \frac{(2 + \sqrt{3}) - (-1)}{1 + (-1)(2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{(3 + \sqrt{3})(-1 + \sqrt{3})}{(-1 - \sqrt{3})(-1 + \sqrt{3})} \right|$$

$$= \left| \frac{-3 + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{1 - 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{-2} \right| = \left| -\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$$

したがって、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるので、

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となる。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$