原点O(0, 0), A(8, 0), B(6, 6), C(2, 4)を頂点とする四角形OABCがある。点Cを通り、対角線OBに平行な直線がx軸と交わる点をDとする。 (1) 直線CDの式を求めよ。 (2) 点Dの座標を求めよ。 (3) △BDAの面積を求めよ。ただし、座標の1目もりを1cmとする。 (4) 点Bを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式を求めよ。 (5) 辺ABの延長と直線CDの交点をPとするとき、点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

原点O(0, 0), A(8, 0), B(6, 6), C(2, 4)を頂点とする四角形OABCがある。点Cを通り、対角線OBに平行な直線がx軸と交わる点をDとする。

(1) 直線CDの式を求めよ。

(2) 点Dの座標を求めよ。

(3) △BDAの面積を求めよ。ただし、座標の1目もりを1cmとする。

(4) 点Bを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式を求めよ。

(5) 辺ABの延長と直線CDの交点をPとするとき、点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線CDの式を求める。

直線OBの傾きは、$\frac{6-0}{6-0} = 1$ である。直線CDは直線OBに平行なので、傾きは1である。よって、直線CDの式は $y = x + b$ と表せる。この直線が点C(2, 4)を通るので、

$4 = 2 + b$

$b = 2$

よって、直線CDの式は $y = x + 2$ である。

(2) 点Dの座標を求める。

点Dは直線CDとx軸の交点なので、y座標は0である。直線CDの式 $y = x + 2$ に $y = 0$ を代入すると、

$0 = x + 2$

$x = -2$

よって、点Dの座標は (-2, 0) である。

(3) △BDAの面積を求める。

点B(6, 6), 点D(-2, 0), 点A(8, 0)である。DAを底辺とすると、底辺の長さは $8 - (-2) = 10$ である。高さは点Bのy座標である6である。よって、△BDAの面積は

$\frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ cm$^2$ である。

(4) 点Bを通り、四角形OABCの面積を2等分する直線の式を求める。

四角形OABCの面積を求める。四角形OABCの面積は、△OABの面積と△OBCの面積の和である。△OABの面積は、底辺OAが8、高さが点Bのy座標6なので、$\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ である。△OBCの面積は、原点O(0,0), B(6,6), C(2,4)なので、$\frac{1}{2} |(0\times6 + 6\times4 + 2\times0) - (0\times6 + 6\times2 + 4\times0)| = \frac{1}{2} |24 - 12| = 6$ である。よって、四角形OABCの面積は $24+6=30$である。

求める直線は、四角形OABCの面積の半分、つまり15にする。

点Bを通り四角形OABCの面積を二等分する直線を $y = a(x-6) + 6$ とする。

この直線と直線OAとの交点をEとすると、E(e,0)とおける。したがって、$0 = a(e-6)+6$となり、$e = 6 - \frac{6}{a}$となる。

△ABEの面積をSとすると、$S = \frac{1}{2} \times (8-e) \times 6 = 3(8-e) = 3(8 - (6-\frac{6}{a})) = 3(2+\frac{6}{a}) = 6+\frac{18}{a}$となる。

△ABEの面積が30-15=15となるためには、$6+\frac{18}{a}=15$となるので、$\frac{18}{a} = 9$となり、$a=2$となる。

したがって求める直線は、$y=2(x-6)+6 = 2x-12+6 = 2x-6$となる。

(5) 辺ABの延長と直線CDの交点をPとするとき、点Pの座標を求める。

直線ABの式を求める。A(8, 0), B(6, 6)を通るので、傾きは $\frac{6-0}{6-8} = -3$ である。よって、直線ABの式は $y = -3(x-8) = -3x + 24$ と表せる。

直線CDの式は $y = x + 2$ である。

2直線の交点Pの座標は、連立方程式を解くことで求まる。

$-3x + 24 = x + 2$

$4x = 22$

$x = \frac{11}{2}$

$y = \frac{11}{2} + 2 = \frac{15}{2}$

よって、点Pの座標は $(\frac{11}{2}, \frac{15}{2})$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 2$

(2) $(-2, 0)$

(3) $30$ cm$^2$

(4) $y = 2x - 6$

(5) $(\frac{11}{2}, \frac{15}{2})$