三角形の各辺の中点を表す複素数 $\alpha = -3 + i, \beta = 2 + 3i, \gamma = -2i$ が与えられたとき、この三角形の3つの頂点を表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

三角形の各辺の中点を表す複素数 $\alpha = -3 + i, \beta = 2 + 3i, \gamma = -2i$ が与えられたとき、この三角形の3つの頂点を表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の頂点を表す複素数を $z_1, z_2, z_3$ とおく。辺の中点の座標はそれぞれの頂点の座標の平均で与えられるので、以下の連立方程式が成り立つ。

$\frac{z_1 + z_2}{2} = \alpha$

$\frac{z_2 + z_3}{2} = \beta$

$\frac{z_3 + z_1}{2} = \gamma$

これらの式を整理すると、

$z_1 + z_2 = 2\alpha$

$z_2 + z_3 = 2\beta$

$z_3 + z_1 = 2\gamma$

これらを解くために、まず3つの式を全て足し合わせる。

$2(z_1 + z_2 + z_3) = 2\alpha + 2\beta + 2\gamma$

両辺を2で割ると、

$z_1 + z_2 + z_3 = \alpha + \beta + \gamma$

次に、$z_1$ を求めるために、$z_1 + z_2 + z_3 = \alpha + \beta + \gamma$ から $z_2 + z_3 = 2\beta$ を引く。

$z_1 = (\alpha + \beta + \gamma) - 2\beta = \alpha - \beta + \gamma$

同様に、$z_2$ を求めるために、$z_1 + z_2 + z_3 = \alpha + \beta + \gamma$ から $z_3 + z_1 = 2\gamma$ を引く。

$z_2 = (\alpha + \beta + \gamma) - 2\gamma = \alpha + \beta - \gamma$

$z_3$ を求めるために、$z_1 + z_2 + z_3 = \alpha + \beta + \gamma$ から $z_1 + z_2 = 2\alpha$ を引く。

$z_3 = (\alpha + \beta + \gamma) - 2\alpha = -\alpha + \beta + \gamma$

$\alpha = -3 + i, \beta = 2 + 3i, \gamma = -2i$ を代入する。

$z_1 = (-3 + i) - (2 + 3i) + (-2i) = -3 + i - 2 - 3i - 2i = -5 - 4i$

$z_2 = (-3 + i) + (2 + 3i) - (-2i) = -3 + i + 2 + 3i + 2i = -1 + 6i$

$z_3 = -(-3 + i) + (2 + 3i) + (-2i) = 3 - i + 2 + 3i - 2i = 5 + 0i = 5$

3. 最終的な答え

$z_1 = -5 - 4i$

$z_2 = -1 + 6i$

$z_3 = 5$