2点 $A(-3, 0)$ と $B(3, 0)$ からの距離の比が $1:3$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(-3, 0)$ と $B(3, 0)$ からの距離の比が $1:3$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP : BP = 1 : 3$ という条件から、 $3AP = BP$ となります。

2点間の距離の公式より、 $AP = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ かつ $BP = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ です。

したがって、$3\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ となります。

両辺を2乗すると、$9((x+3)^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$ となります。

これを展開すると、$9(x^2 + 6x + 9 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$ となります。

整理すると、$9x^2 + 54x + 81 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$ となります。

さらに整理すると、$8x^2 + 60x + 8y^2 + 72 = 0$ となります。

両辺を4で割ると、$2x^2 + 15x + 2y^2 + 18 = 0$ となります。

$x^2$ と $x$ の項を平方完成させます。

$2(x^2 + \frac{15}{2}x) + 2y^2 + 18 = 0$

$2(x + \frac{15}{4})^2 - 2(\frac{15}{4})^2 + 2y^2 + 18 = 0$

$2(x + \frac{15}{4})^2 - 2(\frac{225}{16}) + 2y^2 + 18 = 0$

$2(x + \frac{15}{4})^2 - \frac{225}{8} + 2y^2 + 18 = 0$

$2(x + \frac{15}{4})^2 + 2y^2 = \frac{225}{8} - 18 = \frac{225 - 144}{8} = \frac{81}{8}$

両辺を2で割ると、$(x + \frac{15}{4})^2 + y^2 = \frac{81}{16}$ となります。

これは、中心が $(-\frac{15}{4}, 0)$ で、半径が $\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

軌跡は、中心が $(-\frac{15}{4}, 0)$、半径が $\frac{9}{4}$ の円である。

$(x + \frac{15}{4})^2 + y^2 = (\frac{9}{4})^2$