半径が $x$ cm の円の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $y$ を $x$ の式で表す。 (2) 半径が2倍になると、面積は何倍になるか。 (3) 面積を2倍にするには、半径を何倍にすればよいか。

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

半径が $x$ cm の円の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $y$ を $x$ の式で表す。

(2) 半径が2倍になると、面積は何倍になるか。

(3) 面積を2倍にするには、半径を何倍にすればよいか。

2. 解き方の手順

(1) 円の面積の公式は、$半径 \times 半径 \times \pi$ です。

したがって、$y$ は $x$ を用いて以下のように表されます。

$y = \pi x^2$

(2) 半径が2倍になると、新しい半径は $2x$ cm になります。

このときの面積 $y'$ は、

$y' = \pi (2x)^2 = \pi (4x^2) = 4 \pi x^2 = 4y$

したがって、面積は4倍になります。

(3) 面積を2倍にするためには、新しい面積 $y''$ が $2y$ になればよいので、半径を $r$ とすると、

$y'' = \pi r^2 = 2y = 2\pi x^2$

$\pi r^2 = 2 \pi x^2$

$r^2 = 2x^2$

$r = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}x$

したがって、半径を $\sqrt{2}$ 倍にすればよいです。

3. 最終的な答え

(1) $y = \pi x^2$

(2) 4 倍

(3) $\sqrt{2}$ 倍