半径 $r$、中心角 $a^\circ$、弧の長さ $l$、面積 $S$ である扇形において、$S = \frac{1}{2}lr$ が成り立つことを証明する問題です。空欄を埋める形式で証明を進めます。

1. 問題の内容

半径 $r$、中心角 $a^\circ$、弧の長さ $l$、面積 $S$ である扇形において、$S = \frac{1}{2}lr$ が成り立つことを証明する問題です。空欄を埋める形式で証明を進めます。

2. 解き方の手順

まず、扇形の面積 $S$ と弧の長さ $l$ をそれぞれ $r$ と $a$ で表します。

* 扇形の面積 $S$ は、円全体の面積 $\pi r^2$ に対して、中心角 $a^\circ$ が円全体 ($360^\circ$) に占める割合をかけたものです。したがって、

$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$

* 弧の長さ $l$ は、円周 $2\pi r$ に対して、中心角 $a^\circ$ が円全体 ($360^\circ$) に占める割合をかけたものです。したがって、

$l = 2\pi r \times \frac{a}{360}$

次に、$S = \frac{1}{2}lr$ を導出します。

$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$を変形します。

$S = \frac{1}{2} \times (2\pi r \times \frac{a}{360}) \times r$

上記の式に$l = 2\pi r \times \frac{a}{360}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2}lr$

が得られます。

3. 最終的な答え

扇形の面積は、$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$

弧の長さは、$l = 2\pi r \times \frac{a}{360}$

したがって、$S = \frac{1}{2}lr$ が証明されました。