三角形ABCにおいて、線分DEが線分BCと平行であるとき、線分BDの長さxと線分AEの長さyを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分DEが線分BCと平行であるとき、線分BDの長さxと線分AEの長さyを求める問題です。

2. 解き方の手順

DE // BCなので、三角形ADEと三角形ABCは相似です。相似比を利用してxとyを求めます。

まず、$x$を求めます。

三角形ADEと三角形ABCの相似比は、AE:AC = DE:BCです。

AC = AE + CE = y + 4、BC = BD + DA = x + 10、DE = 6、CE = 4と分かっているので、

AD:AB = AE:AC　より、10:(x+10) = y:(y+4)

DE:BC = AE:AC より、6:(x+10) = 4:(y+4)

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$　と　$\frac{CE}{CA} = \frac{BD}{BA}$　が成り立つので、$\frac{4}{4+y} = \frac{x}{x+10}$

一方、$\frac{CE}{AE} = \frac{CD}{BD}$なので、$\frac{4}{y} = \frac{9}{x}$

よって、$4x = 9y$　なので、$y = \frac{4}{9}x$

$\frac{4}{4+\frac{4}{9}x} = \frac{x}{x+10}$

$4(x+10) = x(4+\frac{4}{9}x)$

$4x+40 = 4x+\frac{4}{9}x^2$

$\frac{4}{9}x^2 = 40$

$x^2 = 90$

$x = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

しかし、画像からでは相似という条件だけではx,yを求めることはできません。

$\frac{CD}{DB} = \frac{CE}{EA}$

$\frac{9}{x} = \frac{4}{y}$

$4x = 9y$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

$\frac{10}{10+x} = \frac{y}{4+y}$

$10(4+y) = y(10+x)$

$40+10y = 10y+xy$

$xy = 40$

$y = \frac{40}{x}$

$4x = 9y = 9 * \frac{40}{x}$

$4x^2 = 360$

$x^2 = 90$

$x = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$y = \frac{40}{3\sqrt{10}} = \frac{40\sqrt{10}}{30} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$x = 3\sqrt{10}$

$y = \frac{4\sqrt{10}}{3}$