ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ であるとき、以下の問題を解きます。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます。 (2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ であるとき、以下の問題を解きます。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます。

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

まず、$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題文より、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ なので、$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1$ です。また、 $|\vec{a}| = 2$ なので $|\vec{a}|^2 = 4$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ なので $|\vec{b}|^2 = 3$ です。

したがって、

$1 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ でもあるので、

$3 = 2\sqrt{3}\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または30度) です。

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求める。

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = (3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

すでに $|\vec{a}|^2 = 4$, $|\vec{b}|^2 = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ であることが分かっているので、

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9(4) - 6(3) + 3 = 36 - 18 + 3 = 21$

したがって、 $|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{21}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}$ (または30度)

(2) $|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{21}$