$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2, \tan \beta = 5, \tan \gamma = 8$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ (2) $\alpha + \beta + \gamma$

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2, \tan \beta = 5, \tan \gamma = 8$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$

(2) $\alpha + \beta + \gamma$

2. 解き方の手順

(1) まず、$\tan(\alpha + \beta)$ を求めます。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 5}{1 - 2 \cdot 5} = \frac{7}{1 - 10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ を求めます。

$\tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$

$\tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1 - (-\frac{7}{9}) \cdot 8} = \frac{-\frac{7}{9} + \frac{72}{9}}{1 + \frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9 + 56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$

(2) $\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であるため、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ が成り立ちます。

また、$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ であることから、

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + n\pi$ (nは整数)

ここで、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$ より、

$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$

したがって、$n = 0$ のとき、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$

$n = 1$ のとき、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$

$\tan \alpha = 2, \tan \beta = 5$ より、$\alpha, \beta$ はかなり大きな角度なので、$\alpha + \beta$ は$\frac{\pi}{2}$に近いはずです。

すると、$\tan(\alpha+\beta) = -7/9$ より、$\alpha+\beta$ は$\frac{\pi}{2}$より少し大きい角度になります。

よって、$\alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{4}$は不適です。

$\tan \gamma = 8$ なので、$\gamma$ も大きな角度です。

すると、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{5}{4}\pi = \frac{5}{4} \cdot 180^\circ = 225^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$

(2) $\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$