四面体ABCDにおいて、A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とする。辺CDを3:4に内分する点をP、線分BPを5:2に外分する点をQ、線分AQの中点をRとする。点P, Q, Rの位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とする。辺CDを3:4に内分する点をP、線分BPを5:2に外分する点をQ、線分AQの中点をRとする。点P, Q, Rの位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pについて

点Pは辺CDを3:4に内分するので、Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は

$$\vec{p} = \frac{4\vec{c} + 3\vec{d}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{c} + \frac{3}{7}\vec{d}$$

(2) 点Qについて

点Qは線分BPを5:2に外分するので、Qの位置ベクトル $\vec{q}$ は

$$\vec{q} = \frac{-2\vec{b} + 5\vec{p}}{5-2} = \frac{-2\vec{b} + 5(\frac{4}{7}\vec{c} + \frac{3}{7}\vec{d})}{3} = \frac{-2\vec{b} + \frac{20}{7}\vec{c} + \frac{15}{7}\vec{d}}{3} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{20}{21}\vec{c} + \frac{15}{21}\vec{d} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{20}{21}\vec{c} + \frac{5}{7}\vec{d}$$

(3) 点Rについて

点Rは線分AQの中点なので、Rの位置ベクトル $\vec{r}$ は

$$\vec{r} = \frac{\vec{a} + \vec{q}}{2} = \frac{\vec{a} + (-\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{20}{21}\vec{c} + \frac{5}{7}\vec{d})}{2} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{10}{21}\vec{c} + \frac{5}{14}\vec{d}$$

3. 最終的な答え

(1) 点Pの位置ベクトル: $\vec{p} = \frac{4}{7}\vec{c} + \frac{3}{7}\vec{d}$

(2) 点Qの位置ベクトル: $\vec{q} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{20}{21}\vec{c} + \frac{5}{7}\vec{d}$

(3) 点Rの位置ベクトル: $\vec{r} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{10}{21}\vec{c} + \frac{5}{14}\vec{d}$