$x-1$, $x$, $x+1$ が三角形の3辺の長さとなるような $x$ の値の範囲を求め、さらに、鈍角三角形となるような $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x-1$, $x$, $x+1$ が三角形の3辺の長さとなるような $x$ の値の範囲を求め、さらに、鈍角三角形となるような $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が成立する条件：

三角形が成立するためには、どの2辺の長さの和も残りの1辺の長さより大きくなければなりません。したがって、以下の3つの不等式が成り立ちます。

* $(x-1) + x > x+1$

* $(x-1) + (x+1) > x$

* $x + (x+1) > x-1$

これらの不等式を解きます。

* $(x-1) + x > x+1$ => $2x - 1 > x + 1$ => $x > 2$

* $(x-1) + (x+1) > x$ => $2x > x$ => $x > 0$

* $x + (x+1) > x-1$ => $2x + 1 > x - 1$ => $x > -2$

さらに、$x-1$, $x$, $x+1$は三角形の辺の長さなので、$x-1>0$である必要があります。

つまり、$x > 1$

以上の条件を全て満たすのは、$x > 2$です。

(2) 鈍角三角形になる条件：

鈍角三角形となるための条件は、最も長い辺の2乗が、他の2辺の2乗の和よりも大きくなることです。

最も長い辺は $x+1$ なので、以下の不等式が成立します。

$(x+1)^2 > x^2 + (x-1)^2$

この不等式を解きます。

$x^2 + 2x + 1 > x^2 + x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 4x < 0$

$x(x-4) < 0$

$0 < x < 4$

(3) $x > 2$と$0 < x < 4$を同時に満たす$x$の範囲を求めます。

これは$2 < x < 4$となります。

3. 最終的な答え

三角形が成立する $x$ の範囲： $x > 2$

鈍角三角形となる $x$ の範囲： $2 < x < 4$