台形ABCDにおいて、$AE=EB$, $AF=FD$, $EG:GH=8:5$であるとき、$x$の値を求める。ただし、$BD=11.2$cm、$BH=x$cmとする。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AE=EB$, $AF=FD$, $EG:GH=8:5$であるとき、$x$の値を求める。ただし、$BD=11.2$cm、$BH=x$cmとする。

2. 解き方の手順

まず、$AE=EB$かつ$AF=FD$なので、EFはBDと平行である。

したがって、$\triangle AEG \sim \triangle ABD$である。

よって、$\frac{EG}{BD}=\frac{AE}{AB}$が成り立つ。

$AE = EB$より、$AE:AB = 1:2$なので、$\frac{EG}{BD}=\frac{1}{2}$

したがって、$EG = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \times 11.2 = 5.6$

$EG:GH = 8:5$より、$\frac{EG}{GH} = \frac{8}{5}$

$GH = \frac{5}{8}EG = \frac{5}{8} \times 5.6 = \frac{5 \times 5.6}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$

$BH = x$である。

また、$\triangle BHG \sim \triangle BDE$であるから、

$\frac{BH}{BD} = \frac{BG}{BE}$が成り立つ。

$BG = EG + EB = 5.6 + EB$

$\frac{BH}{BD} = \frac{GH}{DE}$

$\frac{x}{11.2} = \frac{GH}{EG + GH}$

$GH=3.5$なので、$\frac{x}{11.2} = \frac{3.5}{5.6 + 3.5}$

$\frac{x}{11.2} = \frac{3.5}{9.1} = \frac{35}{91} = \frac{5}{13}$

$x = 11.2 \times \frac{5}{13} = \frac{11.2 \times 5}{13} = \frac{56}{13} \approx 4.307$

また、EFがBDと平行なので、$\triangle BEF \sim \triangle BDA$より、

$\frac{BG}{BD} = \frac{BE}{BA}$

$BG:BD = BE:BA = 1:2$

$BG = \frac{BD}{2} = \frac{11.2}{2} = 5.6$

$EG:GH = 8:5$なので、$EG = 8k$, $GH = 5k$とおける。

$EG = 5.6$なので、$8k = 5.6$

$k = \frac{5.6}{8} = \frac{56}{80} = \frac{7}{10} = 0.7$

$GH = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$

$\triangle BGH \sim \triangle BDE$より、

$\frac{BH}{BD} = \frac{GH}{DE} = \frac{GH}{EG+GH} = \frac{3.5}{5.6+3.5} = \frac{3.5}{9.1} = \frac{35}{91} = \frac{5}{13}$

$x = BD \times \frac{5}{13} = 11.2 \times \frac{5}{13} = \frac{56}{13}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{56}{13}$ cm