半径 $r$ m の半円の土地の弧の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ m の半円の土地の弧の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を計算する。道の面積は、外側の半円の面積から内側の半円の面積を引いたものである。外側の半円の半径は $r + a$ m なので、外側の半円の面積は $\frac{1}{2}\pi(r+a)^2$ m$^2$ である。内側の半円の半径は $r$ m なので、内側の半円の面積は $\frac{1}{2}\pi r^2$ m$^2$ である。したがって、道の面積 $S$ は次のようになる。

$S = \frac{1}{2}\pi(r+a)^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \frac{1}{2}\pi(r^2 + 2ra + a^2) - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \frac{1}{2}\pi r^2 + \pi ra + \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$

$S = \pi ra + \frac{1}{2}\pi a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を計算する。道の真ん中を通る線の半径は $r + \frac{a}{2}$ m なので、その長さは $\frac{1}{2} \times 2\pi (r + \frac{a}{2}) = \pi(r + \frac{a}{2})$ m となる。

$l = \pi(r + \frac{a}{2})$

$l = \pi r + \frac{1}{2}\pi a$

最後に、$al$ を計算する。

$al = a(\pi r + \frac{1}{2}\pi a)$

$al = \pi ra + \frac{1}{2}\pi a^2$

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ が成り立つ。