直線 $y=x+1$ とのなす角が $\frac{\pi}{3}$ である直線で、原点を通るものの式を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=x+1$ とのなす角が $\frac{\pi}{3}$ である直線で、原点を通るものの式を求める。

2. 解き方の手順

まず、求める直線の傾きを $m$ とおきます。

直線 $y=x+1$ の傾きは $1$ です。

2直線のなす角 $\theta$ が与えられているとき、それぞれの傾きを $m_1, m_2$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$tan\theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{3}$, $m_1 = 1$, $m_2 = m$ であるから、

$tan\frac{\pi}{3} = |\frac{1-m}{1+m}|$

$\sqrt{3} = |\frac{1-m}{1+m}|$

絶対値を外して、二つの場合を考えます。

場合1: $\frac{1-m}{1+m} = \sqrt{3}$

$1-m = \sqrt{3} + \sqrt{3}m$

$1-\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})m$

$m = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1-2\sqrt{3}+3}{1-3} = \frac{4-2\sqrt{3}}{-2} = -2+\sqrt{3}$

場合2: $\frac{1-m}{1+m} = -\sqrt{3}$

$1-m = -\sqrt{3} - \sqrt{3}m$

$1+\sqrt{3} = m-\sqrt{3}m = (1-\sqrt{3})m$

$m = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -2-\sqrt{3}$

求める直線は原点を通るので、$y = mx$ の形になります。

したがって、求める直線の方程式は、$y = (-2+\sqrt{3})x$ と $y = (-2-\sqrt{3})x$ となります。

3. 最終的な答え

$y=(-2+\sqrt{3})x, y=(-2-\sqrt{3})x$