三角形ABCにおいて、$A=30^\circ$, $B=45^\circ$, $BC=2$であるとき、辺ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$A=30^\circ$, $B=45^\circ$, $BC=2$であるとき、辺ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

正弦定理とは、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

が成り立つという定理である。

この問題では、

$A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$, $BC = a = 2$, $AC = b$

であるから、

$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

であるから、

$\frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$4 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$

$4\sqrt{2} = 2b$

$b = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$