$0 < \alpha < \pi$ かつ $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ かつ $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

半角の公式を用います。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$

$\cos\alpha = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$

$0 < \alpha < \pi$ より、$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin\frac{\alpha}{2} > 0$。

したがって、$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$