半角の公式を用いて、$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式は次の通りです。

$\sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \cos{\theta}}{2}$

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ を求めるために、$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{12}$ となるように $\theta$ を設定します。

$\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{6}}}{2}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ は正の値なので、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

ここで、$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にすることを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形になることを期待して、

$a + b = 2$, $4ab = 3$ となる $a, b$ を探します。

$b = \frac{3}{4a}$ なので、$a + \frac{3}{4a} = 2$

$4a^2 - 8a + 3 = 0$

$(2a - 1)(2a - 3) = 0$

$a = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$a > b$ となるように $a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}$ とします。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

よって、$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$