三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの角の大きさ、辺の長さ、外接円の半径R、面積Sを求める。 (1) $b=2$, $c=2\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$ (2) $a=2$, $b=\sqrt{6}$, $c=1+\sqrt{3}$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの角の大きさ、辺の長さ、外接円の半径R、面積Sを求める。

(1) $b=2$, $c=2\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$

(2) $a=2$, $b=\sqrt{6}$, $c=1+\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、正弦定理を使って$C$を求める。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$より、

$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{2\sqrt{3} \sin 30^\circ}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = 60^\circ$または$C = 120^\circ$

もし$C = 60^\circ$ならば、$A = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$

もし$C = 120^\circ$ならば、$A = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ$

$A = 90^\circ$の場合、$\frac{a}{\sin A} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$より

$a = \frac{2 \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot 1}{\frac{1}{2}} = 4$

$A = 30^\circ$の場合、$A=B$なので$a=b=2$

この時、$A = 30^\circ, B = 30^\circ, C = 120^\circ, a=2, b=2, c=2\sqrt{3}$

外接円の半径$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{2}{2\sin 30^\circ} = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$

面積$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

一方、$A=90^\circ$の時、外接円の半径$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{4}{2\sin 90^\circ} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$

面積$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin 90^\circ = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$

(2)

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$2^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cos A$

$4 = 6 + (1+2\sqrt{3}+3) - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cos A$

$4 = 10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cos A$

$-6 - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cos A$

$\cos A = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$A = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{6}\sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$B = 60^\circ$または$B = 120^\circ$

もし$B = 60^\circ$ならば、$C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$

もし$B = 120^\circ$ならば、$C = 180^\circ - (45^\circ + 120^\circ) = 15^\circ$

外接円の半径$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{2}{2\sin 45^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}+3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$A = 90^\circ, C = 60^\circ, a=4, R=2, S=2\sqrt{3}$

または

$A = 30^\circ, C = 120^\circ, a=2, R=2, S=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

$A = 45^\circ, B = 60^\circ, C = 75^\circ, R = \sqrt{2}, S = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$

または

$A = 45^\circ, B = 120^\circ, C = 15^\circ, R = \sqrt{2}, S = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$