縦の長さが $p$、横の長さが $q$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道路があります。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る長方形の周の長さを $l$ とすると、$S = al$ となることを証明する問題です。証明の途中の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

縦の長さが $p$、横の長さが $q$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道路があります。この道路の面積を $S$、道路の真ん中を通る長方形の周の長さを $l$ とすると、$S = al$ となることを証明する問題です。証明の途中の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、道路の面積 $S$ を計算します。道路を含めた全体の長方形の縦の長さは $p + 2a$、横の長さは $q + 2a$ です。

したがって、道路の面積 $S$ は、全体の長方形の面積から花壇の面積を引いたものになります。

$S = (p + 2a)(q + 2a) - pq$

これを展開して整理します。

$S = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq$

$S = 2ap + 2aq + 4a^2$

$S = 2a(p+q+2a)$

次に、道路の真ん中を通る長方形の周の長さ $l$ を計算します。この長方形の縦の長さは $p+a$、横の長さは $q+a$ です。

$l = 2(p+a) + 2(q+a)$

$l = 2p + 2a + 2q + 2a$

$l = 2p + 2q + 4a$

$l = 2(p+q+2a)$

$S = 2a(p+q+2a)$ であり、$l = 2(p+q+2a)$ であるので、

$S = al$ が成り立ちます。

したがって、空欄に当てはまるのは順に $2a$, $2a$, $pq$ です。

3. 最終的な答え

$S = (p + 2a)(q + 2a) - pq$