2つの直線 $y = \frac{3}{2}x + 1$ と $y = -5x + 2$ のなす角 $\theta$ を、 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = \frac{3}{2}x + 1$ と $y = -5x + 2$ のなす角 $\theta$ を、 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線の傾きをそれぞれ $m_1$、$m_2$ とすると、$m_1 = \frac{3}{2}$、$m_2 = -5$ です。

2直線のなす角 $\theta$ は、$\tan \theta$ を用いて次のように表されます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

この式に $m_1$ と $m_2$ の値を代入します。

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{3}{2} - (-5)}{1 + \frac{3}{2} \cdot (-5)} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{3}{2} + 5}{1 - \frac{15}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{3+10}{2}}{\frac{2-15}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{13}{2}}{-\frac{13}{2}} \right|$

$\tan \theta = |-1|$

$\tan \theta = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$