三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、線分BPと線分PMの比を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、線分BPと線分PMの比を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{OA} = \vec{a}$ , $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

点Lは辺ABを2:3に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

点Mは辺OAの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

点Pは線分OL上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OP} = s\vec{OL} = s(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

点Pは線分BM上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$ かつ $\frac{2s}{5} = 1-t$

これを解いて、sとtを求める。

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$ より $t = \frac{6s}{5}$

これを $\frac{2s}{5} = 1-t$ に代入して

$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

したがって $t = \frac{6}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$ より、

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

これは点Pが線分BMを3:1に内分することを意味する。

したがって、BP:PM = 3:1

3. 最終的な答え

BP:PM = 3:1