$AB = AC$ である二等辺三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$AM \perp BC$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$AB = AC$ である二等辺三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$AM \perp BC$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

以下のように証明する。

まず、三角形 $ABM$ と三角形 $ACM$ において、

$AB = AC$ (仮定)

$BM = CM$ ($M$ は $BC$ の中点なので)

$AM = AM$ (共通)

したがって、三角形 $ABM$ と三角形 $ACM$ は三辺相等により合同である。

$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$

合同な図形では、対応する角の大きさは等しいので、

$\angle AMB = \angle AMC$

ここで、$\angle AMB$ と $\angle AMC$ は一直線上にあるので、

$\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ$

よって、

$\angle AMB = \angle AMC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

したがって、$AM \perp BC$ である。

3. 最終的な答え

$AM \perp BC$ である。