与えられた2次方程式が表す図形を求め、図示せよ。 (1) $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ (2) $x^2 + 2y^2 + 2x - 8y + 9 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が表す図形を求め、図示せよ。

(1) $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$

(2) $x^2 + 2y^2 + 2x - 8y + 9 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた方程式を平方完成する。

$4x^2 - 16x + 9y^2 + 18y - 11 = 0$

$4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) - 11 = 0$

$4(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9(y^2 + 2y + 1 - 1) - 11 = 0$

$4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 1)^2 - 9 - 11 = 0$

$4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$

$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$

これは楕円を表し、中心は$(2, -1)$、長軸の長さは$2 \times 3 = 6$、短軸の長さは$2 \times 2 = 4$である。

(2)

与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 + 2x + 2y^2 - 8y + 9 = 0$

$(x^2 + 2x) + 2(y^2 - 4y) + 9 = 0$

$(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2(y^2 - 4y + 4 - 4) + 9 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + 2(y - 2)^2 - 8 + 9 = 0$

$(x + 1)^2 + 2(y - 2)^2 = 0$

$(x + 1)^2 + 2(y - 2)^2 = 0$を満たすのは、$(x, y) = (-1, 2)$のみである。

したがって、これは点 $(-1, 2)$ を表す。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(2, -1)$, 長軸の長さ $6$, 短軸の長さ $4$ の楕円. 式は $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$

(2) 点 $(-1, 2)$