一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、点P,Qが$\vec{AP}=2\vec{AC}$, $\vec{BQ}=2\vec{BD}$を満たしている。このとき以下の問いに答える。 (1) $\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$, $\vec{AD}=\vec{d}$として、$\vec{PQ}$を$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表わせ。 (2) 点Rが辺CD上を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最小値を内積を使って求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、点P,Qが$\vec{AP}=2\vec{AC}$, $\vec{BQ}=2\vec{BD}$を満たしている。このとき以下の問いに答える。

(1) $\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$, $\vec{AD}=\vec{d}$として、$\vec{PQ}$を$\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表わせ。

(2) 点Rが辺CD上を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最小値を内積を使って求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AP}=2\vec{AC}$より、$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{OA} + 2\vec{AC}$

$\vec{BQ}=2\vec{BD}$より、$\vec{OQ} = \vec{OB} + \vec{BQ} = \vec{OB} + 2\vec{BD}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (\vec{OB} + 2\vec{BD}) - (\vec{OA} + 2\vec{AC}) = (\vec{OB} - \vec{OA}) + 2(\vec{BD} - \vec{AC})$

$= \vec{AB} + 2(\vec{AD} - \vec{AB} - \vec{AC}) = \vec{AB} + 2\vec{AD} - 2\vec{AB} - 2\vec{AC} = -\vec{AB} - 2\vec{AC} + 2\vec{AD}$

$\vec{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2)

$\vec{CR} = k \vec{CD}$ ($0 \le k \le 1$)とおくと、

$\vec{AR} = \vec{AC} + \vec{CR} = \vec{AC} + k\vec{CD} = \vec{AC} + k(\vec{AD} - \vec{AC}) = (1-k)\vec{AC} + k\vec{AD}$

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = (1-k)\vec{AC} + k\vec{AD} - 2\vec{AC} = (1-k-2)\vec{AC} + k\vec{AD} = (-1-k)\vec{c} + k\vec{d}$

$\vec{QR} = \vec{AR} - \vec{AQ} = \vec{AR} - (\vec{AB} + \vec{BQ}) + \vec{AB} = \vec{AR} - (\vec{AB} + 2\vec{BD}) = (1-k)\vec{c} + k\vec{d} - \vec{b} - 2(\vec{AD}-\vec{AB}) = (1-k)\vec{c} + k\vec{d} - \vec{b} - 2\vec{d} + 2\vec{b} = \vec{b} + (1-k)\vec{c} + (k-2)\vec{d}$

$\triangle PQR$の面積$S = \frac{1}{2} | \vec{PR} \times \vec{QR} |$

$\vec{PR} \times \vec{QR} = ((-1-k)\vec{c} + k\vec{d}) \times (\vec{b} + (1-k)\vec{c} + (k-2)\vec{d})$

$= (-1-k)(\vec{c} \times \vec{b}) + (-1-k)(k-2)(\vec{c} \times \vec{d}) + k(\vec{d} \times \vec{b}) + k(1-k)(\vec{d} \times \vec{c})$

$= (1+k)(\vec{b} \times \vec{c}) - (1+k)(k-2)(\vec{c} \times \vec{d}) - k(\vec{b} \times \vec{d}) - k(1-k)(\vec{c} \times \vec{d})$

$= (1+k)(\vec{b} \times \vec{c}) - (k^2 - k -2 + k - k^2)(\vec{c} \times \vec{d}) - k(\vec{b} \times \vec{d})$

$= (1+k)(\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{c} \times \vec{d}) - k(\vec{b} \times \vec{d})$

$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{d}| = |\vec{b} \times \vec{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $(\vec{b} \times \vec{c}), (\vec{c} \times \vec{d}), (\vec{b} \times \vec{d})$は互いに直交する。

$|\vec{PR} \times \vec{QR}|^2 = (1+k)^2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + k^2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$= \frac{3}{4} (1 + 2k + k^2 + 4 + k^2) = \frac{3}{4} (2k^2 + 2k + 5) = \frac{3}{4} (2(k + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 5) = \frac{3}{4} (2(k + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2})$

$k = -\frac{1}{2}$のとき最小値をとるが、$0 \le k \le 1$なので、k=0またはk=1のときに最小となる。

k=0のとき、$\frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$, k=1のとき、$\frac{3}{4}(2+2+5) = \frac{27}{4}$

$|\vec{PR} \times \vec{QR}|_{min} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

$S_{min} = \frac{1}{2} |\vec{PR} \times \vec{QR}|_{min} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) $\frac{\sqrt{15}}{4}$