$OA_0 = OA_1 = 1$ であり、$\angle A_0OA_1 = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)である二等辺三角形$OA_0A_1$がある。$A_1$から$OA_0$に垂線を下ろし、交点を$A_2$とする。次に、$A_2$から$OA_1$に垂線を下ろし、交点を$A_3$とする。以下同様に、$A_n$から$OA_{n-1}$へ垂線を下ろし、交点$A_{n+1}$を定める。 (1) 長さ$A_nA_{n+1}$を$\theta$で表せ。 (2) $g(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} A_nA_{n+1}$を求めよ。 (3) $\lim_{\theta \to +0} \theta g(\theta)$を求めよ。

1. 問題の内容

$OA_0 = OA_1 = 1$ であり、$\angle A_0OA_1 = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)である二等辺三角形$OA_0A_1$がある。$A_1$から$OA_0$に垂線を下ろし、交点を$A_2$とする。次に、$A_2$から$OA_1$に垂線を下ろし、交点を$A_3$とする。以下同様に、$A_n$から$OA_{n-1}$へ垂線を下ろし、交点$A_{n+1}$を定める。

(1) 長さ$A_nA_{n+1}$を$\theta$で表せ。

(2) $g(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} A_nA_{n+1}$を求めよ。

(3) $\lim_{\theta \to +0} \theta g(\theta)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $OA_0 = OA_1 = 1$、$A_1A_2 \perp OA_0$、$A_2A_3 \perp OA_1$、…である。

$OA_2 = OA_1 \cos \theta = \cos \theta$

$OA_3 = OA_2 \cos \theta = \cos^2 \theta$

$OA_n = \cos^{n-1} \theta$となる。

$A_nA_{n+1} = OA_n \sin \theta = \cos^{n-1} \theta \sin \theta$

(2) $g(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} A_nA_{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \cos^{n-1} \theta \sin \theta = \sin \theta \sum_{n=1}^{\infty} (\cos \theta)^{n-1}$

これは初項1、公比$\cos \theta$の等比数列の和なので、

$g(\theta) = \sin \theta \frac{1}{1-\cos \theta}$

(3) $\lim_{\theta \to +0} \theta g(\theta) = \lim_{\theta \to +0} \frac{\theta \sin \theta}{1 - \cos \theta}$

$\theta \to 0$のとき、$\sin \theta \sim \theta$、$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 (\frac{\theta}{2}) \sim 2(\frac{\theta}{2})^2 = \frac{\theta^2}{2}$

$\lim_{\theta \to +0} \frac{\theta \sin \theta}{1 - \cos \theta} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\theta^2}{\frac{\theta^2}{2}} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $A_nA_{n+1} = \sin \theta \cos^{n-1} \theta$

(2) $g(\theta) = \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}$

(3) $\lim_{\theta \to +0} \theta g(\theta) = 2$