円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + m = 0$ の距離が、円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいとき、円と直線は接する。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|0 - 3(0) + m|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \sqrt{10}$

$\frac{|m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$|m| = 10$

よって、$m = 10$ または $m = -10$ である。

次に、接点の座標を求める。

(i) $m = 10$ のとき、直線は $x - 3y + 10 = 0$ 、つまり $x = 3y - 10$ である。

これを円の方程式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、

$(3y - 10)^2 + y^2 = 10$

$9y^2 - 60y + 100 + y^2 = 10$

$10y^2 - 60y + 90 = 0$

$y^2 - 6y + 9 = 0$

$(y - 3)^2 = 0$

$y = 3$

このとき、$x = 3y - 10 = 3(3) - 10 = -1$ となるので、接点は $(-1, 3)$ である。

(ii) $m = -10$ のとき、直線は $x - 3y - 10 = 0$ 、つまり $x = 3y + 10$ である。

これを円の方程式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、

$(3y + 10)^2 + y^2 = 10$

$9y^2 + 60y + 100 + y^2 = 10$

$10y^2 + 60y + 90 = 0$

$y^2 + 6y + 9 = 0$

$(y + 3)^2 = 0$

$y = -3$

このとき、$x = 3y + 10 = 3(-3) + 10 = 1$ となるので、接点は $(1, -3)$ である。

3. 最終的な答え

$m = 10$ のとき、接点は $(-1, 3)$

$m = -10$ のとき、接点は $(1, -3)$